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Theorems

Atiyah-Singer index theorem

(differential geometry) A theorem stating that, for an elliptic differential operator on a compact manifold, the analytical index (related to the dimension of the space of solutions) is equal to the topological index (defined in terms of some topological data).

日本語の意味

コンパクト多様体上の楕円型微分作用素に対して、解空間の次元に関連する解析的指数と、位相的な性質に基づいて定義される位相的指数が一致することを示す定理。

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ゼミで、私はアティヤ＝シンガーの指数定理が、コンパクト多様体上の楕円微分作用素について解析的インデックス（解空間の次元に関係する）が位相的インデックスに等しいと述べる定理として、楕円作用素の解析的性質と多様体の位相的不変量を結びつけることを説明しました。

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Brouwer fixed-point theorem

固有名詞

(topology) A theorem which (in one of its simplest forms) states that a continuous function from an n-dimensional unit cube (in ℝⁿ) to itself has a fixed point.

日本語の意味

ブロウワーの不動点定理：位相数学における定理で、n次元の単位立方体（ℝⁿ内）からその立方体自身への連続写像は必ず固定点、すなわち写像によって動かされない一点を持つことを示すもの

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During the seminar, the professor used a simple two-dimensional illustration to explain the Brouwer fixed-point theorem, which states that any continuous map from an n-dimensional unit cube to itself has a fixed point.

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セミナーでは、教授が単純な2次元の図を用いて、n次元の単位立方体から自身への連続写像が必ず不動点を持つと述べる位相幾何学の定理（ブロウワーの不動点定理）を説明した。

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de Bruijn-Erdős theorem

固有名詞

(graph theory) A theorem stating that, when all finite subgraphs of an infinite graph can be colored using c colors, the same is true for the parent graph.

日本語の意味

グラフ理論における定理で、任意の無限グラフにおいて、そのすべての有限部分グラフがc色で彩色可能であれば、元の無限グラフも同様にc色で彩色可能であることを主張する。

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When examining infinite chromatic numbers, the de Bruijn-Erdős theorem assures us that if every finite subgraph can be colored with c colors, then the entire graph can be colored as well.

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無限グラフの彩色数を調べるとき、すべての有限部分グラフがc色で彩色できるならば元のグラフもc色で彩色できるとするグラフ理論の定理がそれを保証してくれます。

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Lefschetz fixed-point theorem

固有名詞

(mathematics) A formula that counts the fixed points of a continuous mapping from a compact topological space X to itself by means of traces of the induced mappings on the homology groups of X.

日本語の意味

コンパクトな位相空間 X 上の連続写像に対して、その写像により誘導されるホモロジー群上の写像のトレースを用い、不変点（固定点）の数を計算するための公式。

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In algebraic topology seminars, the Lefschetz fixed-point theorem is often presented as a powerful tool that counts fixed points of a continuous self-map of a compact space via traces on the induced homology maps.

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代数的トポロジーのセミナーでは、レフシェッツの不動点定理は、コンパクトな位相空間への連続な自己写像の不動点を、ホモロジー群に誘導される写像の跡（トレース）を用いて数える強力な手法としてしばしば紹介される。

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Bombieri-Friedlander-Iwaniec theorem

固有名詞

(number theory) A theorem stating that there are infinitely many prime numbers of the form a² + b⁴.

日本語の意味

Bombieri-Friedlander-Iwaniec 定理：数論における定理で、a² + b⁴ の形をした素数が無限に存在することを示す。

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セミナーは、ボンビエリ・フリードランダー・イワニエツの定理と、それが a² + b⁴ の形の素数が無限に存在することを示す証明に焦点を当てた。

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complex conjugate root theorem

固有名詞

(mathematics, complex analysis) The theorem that if a complex number is a root for a polynomial with real coefficients, the complex conjugate of that number will also be a root.

日本語の意味

実数係数を持つ多項式において、ある複素数が根（解）であれば、その複素共役も必ず根（解）となるという数学的定理。 / 実数係数で構成された多項式問題において、もし複素数が方程式の解であるなら、その対応する複素共役も解となることを保証する定理。

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実係数の多項式を解く際、ある複素数がその多項式の根であればその複素共役もまた根になるという定理により、非実数の根は共役の対で現れることが保証されます。

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Poincaré-Birkhoff-Witt theorem

固有名詞

(mathematics) A result giving an explicit description of the universal enveloping algebra of a Lie algebra.

日本語の意味

リー代数の普遍被包含代数に関して、明示的な記述を与える数学上の定理。

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In the graduate seminar, we studied the Poincaré-Birkhoff-Witt theorem and its implications for representation theory.

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大学院のゼミで、リー代数の普遍包絡代数を明示的に記述する定理とそれが表現論に及ぼす影響を学んだ。

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Bruck-Ryser-Chowla theorem

固有名詞

(mathematics) A result on the combinatorics of block designs, stating that, if a (v, b, r, k, λ)-design exists with v = b (a symmetric block design), then: (i) if v is even, then k − λ is a square; (ii) if v is odd, then the following Diophantine equation has a nontrivial solution: x² − (k − λ)y² − (−1)^((v−1)/2) λ z² = 0.

日本語の意味

（数学）ブロックデザインの組み合わせ論に関する定理であり、対称ブロックデザイン（v = b を満たす (v, b, r, k, λ)-デザイン）が存在する場合、以下の性質が成立することを述べる。すなわち、（i）v が偶数ならば k − λ が完全平方数であり、（ii）v が奇数ならば、ディオファントス方程式 x² − (k − λ)y² − (−1)^((v−1)/2) λ z² = 0 に非自明な解が存在するというものである。

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In my study of combinatorial designs, I often refer to the Bruck-Ryser-Chowla theorem, which says that for a symmetric (v, b, r, k, λ)-design, if v is even then k − λ is a square.

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組合せ設計を研究する際、私はしばしば、v = b（対称）である(v, b, r, k, λ)-設計について、vが偶数ならばk−λが平方数であると述べる対称ブロック設計に関する定理を参照します。

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van der Waerden's theorem

固有名詞

(mathematics) In Ramsey theory, a theorem stating that, for any given positive integers r and k, there is some number N such that if the integers {1, 2, ..., N} are colored, each with one of r different colors, then there are at least k integers in arithmetic progression whose elements are of the same color.

日本語の意味

数学・ラムゼー理論における定理で、任意の正の整数 r および k に対して、ある数 N が存在し、1,2,...,N の整数が r 種の色で彩色された場合、同じ色で塗られた等差数列を形成する k 個以上の整数が必ず存在することを保証する定理

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In his lecture on Ramsey theory, the mathematician explained van der Waerden's theorem and demonstrated how any r-coloring of the integers {1, 2, ..., N} must contain a monochromatic arithmetic progression of length k.

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ラムゼー理論の講義で、数学者はファン＝デル＝ヴァールデンの定理を説明し、任意の正の整数 r と k に対して、ある N が存在して {1,2,...,N} を r 色で彩色すると、長さ k の同色の等差数列が必ず含まれることを示した。

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