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theorem)

Maharam's theorem

固有名詞

(mathematics) A result about the decomposability of measure spaces, playing an important role in the theory of Banach spaces. In brief, it states that every complete measure space is decomposable into "non-atomic parts" (copies of products of the unit interval [0,1] on the reals), and "purely atomic parts", using the counting measure on some discrete space.

日本語の意味

（数学、測度論の文脈で）マハラムの定理は、完備測度空間がその測度の性質に応じて、非原子的な部分と純粋に原子的な部分に分解できることを示す定理です。非原子的部分は、[0,1]の区間の積空間のような構造を持ち、純粋に原子的な部分は、離散空間上の計数測度によって特徴づけられます。

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Maharam's theorem shows that any complete measure space can be decomposed into non-atomic parts (copies of products of the unit interval [0,1]) and purely atomic parts with the counting measure, a fact that plays an important role in the theory of Banach spaces.

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任意の完備測度空間が、単位区間[0,1]の積に相当する非原子的部分と、カウント測度を備えた純粋に原子的な部分に分解できるという定理は、バナッハ空間論において重要な役割を果たします。

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Hjelmslev's theorem

固有名詞

(geometry) a theorem stating that if a set of points P_i lying on a line is isometrically mapped to points P_i' on a different line, then the midpoints of the segments P_iP_i' also lie on a line.

日本語の意味

（幾何学）もしある直線上の点の集合 P_i が等距離写像により異なる直線上の点 P_i' に対応されると、各点対 P_i と P_i' を結ぶ線分の中点もまた一直線上に並ぶという定理。

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平行投影の対称性の性質を証明するとき、ある直線上の点集合P_iが別の直線上の点P_i'に等距離写像されるときに線分P_iP_i'の中点が同一直線上にあるとする幾何学の定理は、対応する線分の中点が一直線上に並ぶ理由を示してくれることが多い。

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Cantor-Bendixson theorem

固有名詞

(set theory) A theorem which (in a simpler formulation) states that a closed uncountable set in Euclidean n-space is equal to the disjoint union of a perfect set and a countable set.

日本語の意味

Cantor-Bendixson定理：集合論における定理で、ユークリッド空間の閉かつ非可算な集合が、完全集合と可算集合の互いに素な和に分解できることを示す。

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In our topology seminar, we explored the proof of the Cantor-Bendixson theorem and its consequences for descriptive set theory.

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位相幾何学のゼミでは、ユークリッド空間の閉じた非可算集合が完全集合と可算集合の互いに素な和に分解されるとするカントール＝ベンディクソンの定理の証明と、それが記述集合論にもたらす影響を検討した。

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intermediate value theorem

名詞

(calculus) A theorem that states for each value between the least upper bound and greatest lower bound of the image of a continuous function there is a corresponding point in its domain that the function maps to that value.

日本語の意味

連続関数の像の最小上界と最大下界の間の任意の値に対して、その値をとる定義域上の対応する点が存在するという定理。

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When solving for a root of a continuous function on an interval, I used the intermediate value theorem to guarantee a zero exists between two points of opposite sign.

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区間上の連続関数の根を求める際、連続関数が最小値と最大値の間の任意の値をとることを保証する定理（中間値の定理）を用いて、符号が異なる二点の間に零点が存在することを確認した。

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mean value theorem

名詞

不可算名詞

(mathematics) Any of various theorems that saliently concern mean values.

日本語の意味

数学における平均値定理。すなわち、ある連続かつ微分可能な関数に対し、閉区間内のある点で関数の瞬間的な変化率（導関数）が、その区間全体の平均変化率と一致することを保証する定理の総称。

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試験の準備をする際、彼女は平均値の定理の証明を見直して、すべての手順を理解していることを確かめた。

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Vitali-Carathéodory theorem

固有名詞

(mathematical analysis) A theorem which states that any real-valued Lebesgue integrable function can be approached arbitrarily closely from below by an upper semicontinuous function and also from above by a lower semicontinuous function.

日本語の意味

ヴァイタリ・カラセドリーの定理とは、任意の実数値ルベーグ可積分関数が、上半連続関数で下から、また下半連続関数で上から任意の精度で近似できるという、数学解析における定理です。

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講義中、教授は任意の実数値ルベーグ可積分関数が上半連続関数で下から、下半連続関数で上からそれぞれ任意に近似できるという定理（ヴィタリ＝カラテオドリの定理）を用いて、与えられた可積分関数を下から近似する上半連続関数を構成した。

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infinite monkey theorem

固有名詞

くだけた表現

(informal) The proposition that a monkey hitting typewriter keys at random is bound to produce meaningful text (such as a work by William Shakespeare), given an infinite amount of time.

日本語の意味

無限猿定理は、猿が無作為にタイプライターのキーを打ち続けることで、無限の時間があれば必ず意味のある文章（例えば、ウィリアム・シェイクスピアの作品など）が生成されるという非公式な命題です。

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講義で彼は、無限の猿の定理（タイプライターの鍵を無作為に叩く猿が無限の時間を与えられれば意味のある文章をいつかは生み出すという命題）を使って、単なるランダム性が有意義な文学を生み出すと信じることの不条理さを示した。

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central limit theorem

名詞

単数形単数形のみ可算名詞

(statistics and mathematics, singular only) The theorem that states that if the sum of independent identically distributed random variables has a finite variance, then it will be approximately normally distributed.

日本語の意味

中心極限定理：統計学および数学における定理で、独立同一分布の確率変数の和が有限の分散を持つ場合、その和が近似的に正規分布に従うというもの。

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標本平均を解析するとき、独立同分布の確率変数の和が分散有限であれば概ね正規分布に近づくとする中心極限定理は、元のデータが歪んでいても分布が概ね正規になる理由を説明する。

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Gödel's incompleteness theorem

固有名詞

日本語の意味

数学論理学における2つの定理の1つで、基本算術を含む任意の形式的公理体系が持つ固有の制限、すなわち完全性や一貫性の限界を示す定理。

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Even after decades of study, Gödel's incompleteness theorem continues to challenge mathematicians by showing that every sufficiently powerful formal system cannot prove all true statements about arithmetic.

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何十年もの研究を経ても、クルト・ゲーデルが示した不完全性定理は、十分に強力な形式的公理体系が算術に関するすべての真理を証明できないことを示し、数学者たちをなおも悩ませ続けている。

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Bertrand-Chebyshev theorem

固有名詞

(mathematics) the theorem that there is at least one prime number between n and 2n for every n>1, i.e.:

日本語の意味

任意の n > 1 に対して、n と 2n の間に少なくとも１つの素数が存在するという数学的定理

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When preparing for the number theory exam, I studied the Bertrand-Chebyshev theorem and was fascinated by its guarantee that there is at least one prime between n and 2n for every n>1.

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数論の試験の準備をしているとき、私は任意の n>1 に対して n と 2n の間に少なくとも1つの素数が存在することを保証する定理を学び、その示唆に感銘を受けた。

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