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σ-algebra

IPA（発音記号）

名詞

(mathematical analysis) A collection of subsets of a given set, such that the empty set is part of this collection, the collection is closed under complements (with respect to the given set) and the collection is closed under countable unions.

日本語の意味

与えられた集合の部分集合全体の集まりであり、空集合を含み、各部分集合の補集合および数え上げ可能な部分集合の和集合に対して閉じている数学的な構造。

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優収束定理を適用するためには、まず可測集合が元の空間上でシグマ代数を成すことを確認しなければならない。

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σ-additivity

名詞

不可算名詞

(mathematical analysis) countable additivity

日本語の意味

可算加法性

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The proof relies on σ-additivity of the measure to extend the result from finite unions to countable unions.

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この証明は、測度の可算加法性に依存して、結果を有限和から可算和へ拡張している。

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σ-compact

形容詞

比較不可位相空間論

(mathematical analysis, of a set in a topological space) That is expressible as a countable union of compact sets.

日本語の意味

位相空間において、対象の集合が可算個のコンパクトな集合の合併で表せる性質（すなわち、可算合併可能なコンパクト集合群によって構成されること）

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可算個のコンパクト集合の合併として表される位相空間は、しばしば全体的な問題を可算個のコンパクトな場合に帰着させることができるため、解析における多くの証明が扱いやすくなる。

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σ-algebras

名詞

活用形複数形

plural of σ-algebra

日本語の意味

「シグマ代数」の複数形

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When studying probability theory, mathematicians often compare different σ-algebras to determine which events are measurable.

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確率論を学ぶ際、数学者はしばしばどの事象が可測かを判断するために異なるシグマ代数を比較する。

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Borel σ-algebra

名詞

(mathematical analysis) The smallest σ-algebra which contains the topology of a given topological space.

日本語の意味

与えられた位相空間の位相を含む、最小のσ-代数。つまり、位相空間に対して、その位相から生成される最小のσ-代数を指す。

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位相空間上で測度を定義する際には、通常、その開集合によって生成されるボレルσ代数をまず考えることから始めます。

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σ-finite measure

名詞

日本語の意味

可測空間において、全体集合が有限な測度を持つ可算個の部分集合の合併によって表現可能な性質、またはそのような測度自体を指す。

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To apply the Radon–Nikodym theorem, we require that the dominating measure be a σ-finite measure on the measurable space.

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ラドン＝ニコディムの定理を適用するには、支配測度が可測空間上でシグマ有限測度である必要があります。

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σ-finite measures

名詞

活用形複数形

plural of σ-finite measure

日本語の意味

この語は「σ‐finite measure」（σ‐有限測度）の複数形であり、名詞の複数形にあたります。

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When dealing with product spaces, σ-finite measures on each factor ensure Fubini's theorem applies.

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積空間を扱う際、各因子上のシグマ有限測度があるとフビニの定理が適用されます。

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Borel σ-algebras

名詞

活用形複数形

plural of Borel σ-algebra

日本語の意味

ボレルσ-代数の複数形

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Borel σ-algebras on different topological spaces can have very different structures, even when the spaces appear similar.

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異なる位相空間上のボレルσ代数は、空間が似て見える場合でも非常に異なる構造を持ち得る。

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