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(hyperbolic)

hyperbolic tangent

名詞

(mathematics) a hyperbolic function that is written in symbol tanh and defined as the following:

日本語の意味

数学における双曲線正接関数。記号 tanh で表され、双曲線関数の一種です。

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性質を説明するために、講師は双曲線正接（tanh）をプロットして、実数が開区間(-1, 1)に写ることについて説明しました。

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関連語

hyperbolic tangents

（ plural ）

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hyperbolic cosine

名詞

日本語の意味

数学における関数で、記号 cosh で表され、1/2 (e^x + e^(-x)) により定義される双曲線余弦（ハイパーボリックコサイン）を指す。

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When analyzing catenary curves, the hyperbolic cosine appears as the solution to the corresponding differential equation.

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吊り線の曲線を解析すると、双曲線余弦関数 cosh(x) = 1/2(e^x + e^{-x}) が対応する微分方程式の解として現れます。

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関連語

hyperbolic cosines

（ plural ）

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hyperbolic function

名詞

(mathematics) A set functions that are analogues of the trigonometric functions for hyperbolic spaces. They can be derived from some arithmetic operations on the exponential function with base e and the inverse function, and was named after the corresponding similar trigonometric function.

日本語の意味

数学において双曲線関数とは、指数関数 e を用いた演算により導出され、三角関数に類似した性質を持つ関数群を指す。具体的には双曲線正弦関数（sinh）、双曲線余弦関数（cosh）、双曲線正接関数（tanh）などが含まれる。

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To derive the identity, the professor demonstrated how the hyperbolic function can be expressed using exponential functions.

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恒等式を導くために、教授は双曲関数が指数関数を使って表現できる方法を示した。

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関連語

hyperbolic functions

（ plural ）

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hyperbolic space

名詞

(mathematics) Any space exhibiting hyperbolic geometry rather than Cartesian geometry

日本語の意味

数学において、ユークリッド幾何学ではなく双曲幾何学の性質を示す空間、すなわち直交座標系ではなく双曲的な性質を持つ空間のことを指す。

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Researchers modeled the curvature of a hyperbolic space to better understand non-Euclidean dynamics.

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研究者たちは双曲空間の曲率をモデル化して、非ユークリッド的な力学をよりよく理解しようとした。

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関連語

hyperbolic spaces

（ plural ）

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hyperbolic plane

名詞

(mathematics) A topological space homeomorphic to a plane (or open disk) and equipped with a hyperbolic metric.

日本語の意味

双曲平面: 数学における位相空間で、平面または開円盤に同相であり、双曲幾何学に基づいた双曲距離が定義されているもの

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When studying geodesics on the hyperbolic plane, one often encounters models like the Poincaré disk and the upper half-plane.

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双曲平面の測地線を研究する際、ポアンカレ円盤や上半平面といったモデルに出会うことが多い。

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関連語

hyperbolic planes

（ plural ）

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δ-hyperbolic

形容詞

比較不可位相空間

(of a topological space) In which every geodesic triangle satisfies that every point on the triangle is within a distance of δ (some constant) of each side of the triangle.

日本語の意味

（位相空間が）すべての測地線三角形において、各辺から全ての点が定数 δ の距離内にある性質

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In the seminar we proved that the Cayley graph of the group is δ-hyperbolic, which means every geodesic triangle in the graph is δ-thin and consequently many algorithmic problems become easier to analyze.

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ゼミでは、この群のケーリーグラフがδ-双曲的であること、つまりグラフ内の任意の測地線三角形の各点が三角形のいずれかの辺からある定数δ以内にあるという性質を示し、その結果、多くのアルゴリズム的問題が解析しやすくなりました。

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hyperbolic spaces

名詞

活用形複数形

plural of hyperbolic space

日本語の意味

ハイパーボリック空間の複数形。数学において、負の曲率を持つ空間（双曲幾何学の対象）を指す。

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Researchers discovered surprising symmetry properties in certain hyperbolic spaces that do not occur in Euclidean settings.

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研究者たちは、ユークリッド的な環境では見られない、特定の双曲空間における驚くべき対称性の性質を発見した。

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hyperbolic planes

名詞

活用形複数形

plural of hyperbolic plane

日本語の意味

「hyperbolic plane」の複数形。数学における双曲幾何学の平面、すなわち双曲平面の複数形を指す。

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During the seminar, the professor assigned projects on hyperbolic planes to illustrate properties absent in Euclidean geometry.

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セミナーの間、教授はユークリッド幾何学には見られない性質を示すために、双曲平面に関する課題を出した。

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hyperbolic tangents

名詞

活用形複数形

plural of hyperbolic tangent

日本語の意味

双曲線正接の複数形。つまり、数学における双曲線正接（ハイパボリックタンジェント）の値の複数形を指す。

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In advanced neural network layers, hyperbolic tangents are often used as activation functions to introduce nonlinearity.

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高度なニューラルネットワークの層では、双曲線正接関数が活性化関数として非線形性を導入するためによく使われます。

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hyperbolic functions

名詞

活用形複数形

plural of hyperbolic function

日本語の意味

「hyperbolic function（双曲線関数）」の複数形

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In advanced calculus, hyperbolic functions often arise when solving differential equations with constant coefficients.

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高度な解析学では、定数係数を持つ微分方程式を解くときに双曲線関数がよく現れます。

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