その苗字の研究者が研究を発表したとき、聴衆は彼の明快さに感心した。

ホプフ家は家族写真の展示を準備するために早めに到着した。

教授は、二つの輪の最も単純な絡み合いの図を使って、位相幾何学で輪が非自明に絡み合う様子を示した。

量子群の多くの問題は、ホップ代数を研究することで明らかにできる。

現代の量子群論では、単位元を持つ結合代数であり、余単位を持つ余結合コアルジェブラで、アンチポード（反同型写像）を備えた構造が、乗法と余乗法の両方の構造を持つ対称性を記述するための代数的枠組みを提供する。

教授は連結数の仕組みを説明するために、いくつかの互いに絡み合った円の対を例として用いた。

最近のシミュレーションでは、ホップフィオンのソリトンが特定のキラル磁性材料で安定した結び目状の構造を形成する可能性があると示唆されている。

シミュレーションで研究者たちは、磁場内に安定した結び目（三次元の連続した単位ベクトル場に現れ、切断しなければほどけない）が形成されるのを観測した。

ホップフィールドネットワークは複数の安定したパターンを記憶し、雑音のある入力からそれらを取り出すことができる。

認知科学者たちは、ノイズの混じった入力から格納されたパターンを取り出すために再帰的な連想記憶型人工ニューラルネットワークを訓練し、その結果を人間の記憶の側面をモデル化するために用いた。