これは『keep a dog and bark oneself』という動詞句の三人称単数形の単純現在形の活用形です。

自分の専門分野以外の事柄に口出しせず、自分の得意な分野に専念すべきである。 / 他人の領域について無闇に批判するな、まずは自分のことに集中するという意味。 / 余計なお世話をせず、自分の専門分野に専念せよという戒めと解釈できる。

これは、動詞「keep the home fires burning」の現在分詞、つまり進行形の形です。

これは「keep the home fires burning」という句の第三人称単数単純現在形です。

「keeping one's eyes peeled」は、フレーズ「keep one's eyes peeled」の現在分詞形であり、動詞の活用形（現在分詞）です。

約束や契約に基づいて、自分側の義務や責任を果たすこと / 合意事項を守り、決められた内容を履行すること

警戒を怠らず、常に行動できる準備を整えている状態を維持する / 注意深く、臨機応変に対応する体制を保つ

「keeping one's eyes skinned」は『keep one's eyes skinned』の現在分詞であり、動詞の現在分詞形を示します。

『keeping one's eyes open』は『keep one's eyes open』の現在分詞形で、動作が進行中であることを示す活用形です。

これは「keep one's eyes skinned」という表現の三人称単数現在形です。