（口語的な表現）今やっていることをそのまま続けなさい。 / （励ましの言葉として）頑張って続けなさい。 / （非公式な命令形）その調子で取り組み続けなさい。

『keeps on』は『keep on』の第三人称単数現在形です。

「keep on」の現在分詞形

「Keep」の複数形。つまり、名詞「Keep」の複数形として用いられる。

姓、名字。英語で「A surname.」という意味は、家族や血統を示す名字を表します。

「keeps in with」は、句動詞「keep in with」の三人称単数現在形です（第三者単数の現在時制を示す）。

「keep in with」の現在分詞形です。

～に従って / ～に沿って / ～に一致して

この「keeps in」は、動詞「keep in」の三人称単数現在形（simple present indicative）の活用形です。

「keeping in」は動詞「keep in」の現在分詞形です。これは動作が進行中であることや継続している状態を示す活用形です。