この表現は「busy bee」の複数形です。つまり、『働き者』『忙しく活動する人』を複数指す場合に用いられます。

働き者 / 勤勉な人

「busy beavers」は「busy beaver」の複数形であり、基本的に「働き者」や「勤勉家」という意味の俗語です。

電話回線が使用中で、通話が確立できないことを知らせる音声信号。 / 呼び出し側に接続失敗や通話中などの状態を伝える、聞こえる信号。

電話回線が使用中であることを示す

「getting busy」は「get busy」の現在分詞形であり、活用形を示す用法です。つまり、進行中の状態や動作を表現するための形です。

おせっかいな人々（余計なお世話を焼く人たち）

幼児向けの、複数の遊び（活動）ができるおもちゃ

"busy boxes" は "busy box" の複数形です。

「gotten busy」は「get busy」の過去分詞形です。つまり、英語では完了形などで用いられる活用形であり、直接的な意味（意味内容）があるわけではなく、『忙しくなる』という意味の動詞「get busy」の変化形として使われます。