「manipulations」は「manipulation」の複数形です。

操作可能な方法で / 取り扱いが可能な方法で

操作可能性；物体やシステムが操作されやすい状態であること

操作（操作行為・操作方法）に関する、もしくはそれに関連するという意味

「manipulatives」は「manipulative」の複数形です。

これは 'manipulate' の現在分詞形であり、動詞の活用形の一つです。進行形や形容詞として用いられる場合があります。

この単語は「manipulate」の過去形および過去分詞形です。

意図的に他者を操作する / 他者を操作する傾向がある / （軽蔑的に）他人を利用して己の目的を達成しようとする

数学的概念を示すために操作可能な教材や器具としての物体 / 数学の抽象概念を具体的に学習するための、操作を伴う道具

『manipulability』の複数形です。つまり、物事が操作しやすい性質や操作可能な状態を示す「操作可能性」や「操作性」の概念に対して、複数の側面や事例が存在することを意味します。