『simple rings』は「simple ring」の複数形、すなわち単数形『simple ring』の複数を表す活用形です。

第三人称単数単純現在形（動詞 'ring around' の活用形）

「thumb-ring」の複数形です。つまり、親指に装着するリング（親指輪）を指す際に用いる形です。

「順序環」の複数形。つまり、順序が定義された環（数学における構造）の複数を示す。

「valuation ring」の複数形、すなわち評価環の複数形を指す用語です。

「reduced ring」の複数形

これは "vortex ring"（渦環）の複数形を示しています。英語では単数形の「vortex ring」に対し、複数を表す "vortex rings" として用いられ、物理学では流体の中に形成される環状の渦構造を意味します。日本語では通常「渦環」と訳され、文脈に応じて複数を指す場合は「複数の渦環」と解釈されます。

「anchor ring」の複数形であり、活用形としては単数形「anchor ring」の複数形を示しています。

商環（quotient ring の複数形。環論において環を商で割った結果得られる環を指す）

「prime ring」の複数形です。この場合、意味自体は「prime ring」という単語の意味が複数形になったものを指します。