「royal pains」は「royal pain」の複数形です。つまり、単数形の「royal pain」に対して、複数の対象や状況を指すときに用いられる活用形です。

「侵害受容性疼痛」の複数形、すなわち複数の侵害受容性疼痛を指す

これは「pain in the back」の複数形で、意味としては『背中の痛み』となります。

「psychogenic pain」の複数形、すなわち心因性疼痛（心理的要因による痛み）が複数であることを示す

『go to pains』の過去分詞形、すなわち動詞『go to pains』の過去分詞として用いられる活用形です。

「go to pains」の過去形です。

「going to pains」は動詞「go to pains」の現在分詞です。つまり、この形はその動詞の進行形や形容詞的用法として使われ、（苦労して何かをする）という意味を持つ場合がありますが、本来の意味は活用形（現在分詞）であるため、意味そのものを表すものではありません。

『goes to pains』は、動詞句「go to pains」の三人称単数現在形です。

子供や思春期の若者における、四肢や関節の全般的な痛み（成長に伴う身体的な痛み） / 思春期に伴う感情的または社会的な問題

「labour pain」の複数形です。つまり、出産時の痛み（陣痛）が複数の場合を指します。