「integrations by parts」は、数学における部分積分法（integration by parts）の複数形です。つまり、活用の一形態として、単数形である「integration by parts」に対して、複数形であることを示しています。

これは活用形についての記述です。'parts ways'は『part ways』の三人称単数現在直説法の形を表しています。

「parted ways」は、『part ways』の過去形および過去分詞形を示す活用形です。

英語の提示された意味「present participle of part ways」は意味そのものではなく、活用形（現在分詞）を示しています。

「breeches parts」は「breeches part」の複数形です。つまり、単数形がズボン（breeches）の一部分や部位を指す名詞であるのに対し、その複数形として複数の部位を意味します。

歴史的な、両側に取っ手がある飲用カップ

別れの杯：別れの際の儀式や挨拶で用いられる、飲み物を注ぐための杯（複数形）。

別れの際に贈られる贈り物 / 見送りのプレゼント

自動車部品

これは 'part company' の現在分詞形、すなわち動詞『分かれる、別れる』の進行形や形容詞的用法として用いられる活用形です。